Question

设函数f（x）=x²+m（m∈R）．
（1）如果m=

1

4

，方程y=f（x）-kx在[-1，1]上存在零点，求k的取值范围；
（2）如果m=-1，对任意x∈[

2

3

，+∞)，f(

x

m

)-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，求实数m的取值范围；
（3）求h（x）=2f（x）+x|x-m|的最小值．

Answer 1

分析：（1）方程f（x）-kx=0，即x2-kx+

1

4

=0，故方程在[-1，1]上有解．令g(x)=x2-kx+

1

4

．分对称轴在区间[-1，1]上，在区间的左侧、右侧三种情况，求出k的取值范围．
（2）当m=-1时，不等式即，

1

m2

-4m2≤-

3

x2

-

2

x

+1，x∈[

3

2

，+∞)，利用二次函数的性质求出-

3

x2

-

2

x

+1的最小值，从而求得实数m的取值范围．
（3）①当x≥m时，再分m≥0和m＜0两种情况求出函数的最小值．②当x≤m时，再分m≥0和m＜0两种情况求出函数的最小值．综合可得结论．

解答：解：（1）方程f（x）-kx=0，即x2-kx+

1

4

=0，故方程在[-1，1]上有解．令g(x)=x2-kx+

1

4

．
①若对称轴x=

k

2

在[-1，1]上，则有 

-1≤ k 2 ≤1 △≥0 g(-1)≥0 ，  或g(1)≥0

，解得-2≤k≤-1或1≤k≤2．…（2分）
②若对称轴 x=

k

2

在[-1，1]的左侧，则有 

k 2 ＜-1 g(-1)•g(1)≤0

，解得k＜-2．…（4分）
③若对称轴 x=

k

2

在[-1，1]的右侧，则有

k 2 ＞1 g(-1)•g(1)≤0

 解得k≥2．
综合得k≤-1或k≥1．…（6分）
（2）当m=-1时，不等式f(

x

m

)-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m) 即，

1

m2

-4m2≤-

3

x2

-

2

x

+1，x∈[

3

2

，+∞)．…（8分）
因为y=-

3

x2

-

2

x

+1=-3(

1

x

+

1

3

)2+

4

3

，

1

x

∈(0，

2

3

]，当

1

x

=

2

3

，x=

3

2

时，ymin=-

5

3

．
∴

1

m2

-4m²≤-

5

3

，即（3m²+1）（4m²-3）≥0，∴m≤-

3

2

，或m≥

3

2

．…（10分）
（3）①当x≥m时，f（x）=3x²-mx+2m，如果m≥0，f(x)min=2m2+2m； 如果m＜0，f(x)min=2m-

m2

12

．
②当x≤m时，f（x）=x²+mx+2m，如果m≥0，f(x)min=-

m2

4

+2m；如果m＜0，f(x)min=2m2+2m．
由于2m²+2m-(-

m2

4

+2m)≥0，2m-

m2

12

-（2m²+2m）≤0，
所以f(x)min=

2m- m2 4 ，m≥0 2m- m2 12 ，m＜0.

． …（16分）

点评：本题主要考查函数的零点的判定定理，函数的恒成立问题，二次函数的性质的应用，属于中档题．