Question

已知函数f（x）=3^x，f（a+2）=18，g（x）=λ•3^ax-4^x定义域[0，1]．
（1）求a的值；
（2）若函数g（x）在[0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围；
（3）若函数g（x）的最大值为

1

2

，求实数λ的值．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由条件f（a+2）=18建立关于a的等量关系，求出a即可；
（2）将（1）的a代入得g（x）=λ•2^x-4^x，g（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，可利用函数单调性的定义建立恒等关系，分离出λ，求出2^x₂+2^x₁的最值即可．
（3）设2^x=t，原题转化为y=-t²+λt=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

，t∈[1.2]最大值为

1

2

，求实数λ的值．对λ分类讨论，求出在区间[1，2]上的最大值，使其等于

1

2

，解出λ即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=3^x，f（a+2）=18，
∴3^a+2=18，
∴3^a=2，
∴a=log₃2
（2）此时g（x）=λ•2^x-4^x
设0≤x₁＜x₂≤1，因为g（x）在区间[0，1]上是单调减函数，
所以g（x₁）-g（x₂）=（2^x₂-2^x₁）（-λ+2^x₂+2^x₁）≥0成立，
∵2^x₂-2^x₁＞0，
∴λ≤2^x₂+2^x₁恒成立由于2^x₂+2^x₁≥2⁰+2⁰=2，
所以实数λ的取值范围是λ≤2．
（3）∵函数f（x）=λ•2^x-4^x的定义域为[0，1]，最大值为

1

2

，
由（2）知，y=-t²+λt=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

，t∈[1.2]，
∴对称轴方程为t=

λ

2

，
①当

λ

2

＜1时，y=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

在[1.2]是减函数，
∴当t=1时，y取最大值ymax=-（1-

λ

2

）²+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=

3

2

．
②当1≤

λ

2

≤2时，当t=

λ

2

时，y取最大值y_max=-（

λ

2

-

λ

2

）²+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=±

2

2

，（舍）
③当

λ

2

＞2时，当t=2时，y取最大值y_max=-（2-

λ

2

）²+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=

9

4

（舍）
综上所述，实数λ的值为

3

2

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数恒成立问题，属于中档题．