Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA= ，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF= ，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．

（1）求证：AC⊥平面ABEF；
（2）求平面ABCD与平面DEF所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△ABC中，AB=1，BC=2，∠CBA= ，

由余弦定理得AC= = = ．

∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB．

∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AC平面ABCD，

∴AC⊥平面ABEF．

（2）解：以A为原点，AB为x轴，AF为y轴，AC为z轴，建立空间直角坐标系，

D（﹣1，0， ），E（1，2，0），F（0，3，0），

=（2，2，﹣ ）， =（1，3，﹣ ），

设平面DEF的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x= ，得 =（ ，4），

平面ABCD的法向量 =（1，0，0），

设平面ABCD与平面DEF所成二面角的平面角为θ，

则cosθ= = ，

∴sinθ= = ．

∴平面ABCD与平面DEF所成二面角的正弦值为 ．

【解析】1、由已知根据余弦定理可求得AC的值，根据勾股定理可知AC⊥AB，由面面垂直的性质定理可得AC⊥平面ABEF。
2、根据题意，建立空间直角坐标系分别求出点D、C的坐标，再求出、的坐标，利用向量垂直的坐标公式求出法向量的值，由两个法向量所成的角即为平面ABCD与平面DEF所成二面角的平面角，利用向量的数量积运算可求出cosθ的值，进而得到sinθ的值。
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．