（本小题满分14分）已知椭圆
过点
，点
是椭圆的左焦点，点
、
是椭圆
上的两个动点，且
、
、
成等差数列．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）求证：线段
的垂直平分线经过一个定点
.
（1）
；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）求椭圆
的标准方程，设椭圆C的方程为
，由已知点
是椭圆的左焦点，可得
，又因为椭圆
过点
，将点代入椭圆方程解出
即可得椭圆的标准方程；（2）求证：线段
的垂直平分线经过一个定点
，由已知
、
、
成等差数列，可得
，由于
，而点
、
是椭圆
上的两个动点，可设
，
，这样得
，
，代入，求得
，因此可设线段
的中点为
，再由
，可得
，得斜率为
，写出线段的垂直平分线即可证出.
试题解析：（1）设椭圆C的方程为， 1分
由已知，得
2分
解得
3分
∴椭圆的标准方程为. 4分
（2）证明：设，，由椭圆的标准方程为
，
可知
， 5分
同理， 6分
， 7分
，
，
. 8分
（ⅰ）当
时，由得
，
.
设线段的中点为，由
，
得线段
的中垂线方程为
， 11分
，该直线恒过一定点
. 12分
（ⅱ）当
时，
，
或
，
，
线段
的中垂线是x轴，也过点
.
综上，线段
的中垂线过定点
. 14分
（2）问【解法二】
（ⅰ）若
斜率存在时：
设
直线为
联立
，消
得：
5分
设点
，则：
6分
由于
且
所以
，
又因为
，其中
，故
可得
，从而
8分
由（3）式及
得
所以直线
的中垂线为
10分
化简得
11分
故：直线
的中垂线过定点
12分
（ⅱ）若
斜率不存在时：同解法一. 14分
考点：椭圆的方程，二次曲线定点问题，直线与二次曲线位置关系.
科目：高中数学 来源：2015届广东省广州市高三上学期第一次质量检测文科数学试卷（解析版） 题型：选择题
给出四个函数，分别满足①
；②
；③
；④
，又给出四个函数的图象如下：
则正确的配匹方案是（ ）
A．①—M ②—N ③—P ④—Q
B．①—N ②—P ③—M ④—Q
C．①—P ②—M ③—N ④—Q
D．①—Q ②—M ③—N ④—P
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科目：高中数学 来源：2015届广东省东莞市高三上学期第二次月考理科数学试卷（解析版） 题型：选择题
对
、
，运算“
”、“
”定义为：
=
，
=
，则下列各式其中不恒成立的是（ ）
（1）
（2）
（3）
（4）
A．（1）、（3）
B．（2）、（4）
C．（1）、（2）、（3）
D．（1）、（2）、（3）、（4）
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科目：高中数学 来源：2015届广东惠州市高三第二次调研考试文科数学试卷（解析版） 题型：填空题
（几何证明选做题）如图，在半径为3的圆
中，直径
与弦
垂直，垂足为
（
在
、
之间）. 若
，则
________.
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科目：高中数学 来源：2015届山西省高三10月月考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题
（本小题满分12分）已知函数
．
（1）若函数
的定义域和值域均为
，求实数
的值；
（2）若在区间
上是减函数，且对任意的
，总有
，求实数
的取值范围．
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的前
项和为
，且
、
是方程
的两个根，则
= .
，
，
，若（
）
，则
（ ） 
有实根的概率为 （ ）
B．
C．
D．
的最小值是 .