Question

7．已知函数f（x）=|x+a|+|x+$\frac{1}{a}$|（a＞0）
（I）当a=2时，求不等式 f（x）＞3的解集；（Ⅱ）证明：f（m）+$f（-\frac{1}{m}）≥4$．

Answer 1

分析 （I）当a=2时，去掉绝对值，再求不等式 f（x）＞3的解集；
（Ⅱ）f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）=|m+a|+|m+$\frac{1}{a}$|+|-$\frac{1}{m}$+a|+|-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{a}$|≥2|m+$\frac{1}{m}$|=2（|m|+$\frac{1}{|m|}$）≥4，可得结论．

解答 （I）解：当a=2时，f（x）=|x+2|+|x+$\frac{1}{2}$|，
不等式 f（x）＞3等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{-x-2-x-\frac{1}{2}＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤-\frac{1}{2}}\\{x+2-x-\frac{1}{2}＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞-\frac{1}{2}}\\{x+2+x+\frac{1}{2}＞3}\end{array}\right.$，
∴x＜-$\frac{11}{4}$或x＞$\frac{1}{4}$，
∴不等式 f（x）＞3的解集为{x|x＜-$\frac{11}{4}$或x＞$\frac{1}{4}$}；
（Ⅱ）证明：f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）=|m+a|+|m+$\frac{1}{a}$|+|-$\frac{1}{m}$+a|+|-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{a}$|
≥2|m+$\frac{1}{m}$|=2（|m|+$\frac{1}{|m|}$）≥4，
当且仅当m=±1，a=1时等号成立，
∴f（m）+$f（-\frac{1}{m}）≥4$．

点评 本题考查带绝对值的函数，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．