Question

17．已知函数f（x）=x²+ax-2b，若a，b都是区间[0，4]内的数，则使f（1）＜0成立的概率是$\frac{5}{8}$．

Answer 1

分析 本题利用几何概型求解即可．在a-o-b坐标系中，画出f（1）＜0对应 的区域，和a、b都是在区间[0，4]内表示的区域，计算它们的比值即得

解答 解：f（1）=1+a-2b＜0，即a-2b+1＜0，
则a，b都是从区间[0，4]任取的一个数，有f（1）＜0，
即满足条件：$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤4}\\{0≤b≤4}\\{a-2b+1＜0}\end{array}\right.$
转化为几何概率如图所示，
其中A（0，$\frac{1}{2}$），C（4，$\frac{5}{2}$），
事件“f（1）＜0”的表示的平面区域为阴影部分，
其面积为S_{四边形OABC}=$\frac{1}{2}$（OA+BC）×OB=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$+$\frac{5}{2}$）×4=6，
∴事件“f（1）＜0”的概率为$\frac{{S}_{阴影部分}}{{S}_{正方形}}=\frac{16-6}{16}=\frac{5}{8}$；
故答案为：$\frac{5}{8}$．

点评 本小题主要考查几何概型、二次函数的性质等基础知识．古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到