Question

2．已知数列{a_n}的首项a₁=$\frac{1}{2}$，前n项和为S_n，且S_n=p-a_n．
（Ⅰ）求P及{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对n∈N^*，在a_n与a_n+1之间插入3ⁿ的数，使得这3ⁿ+2项成等差数列，记插入的3ⁿ个数之和为b_n，令c_n=$\frac{4}{3}$nb_n，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过S₁=a₁=p-a₁=$\frac{1}{2}$，可得p=1、S_n=1-a_n．通过当n≥2时a_n=S_n-S_n-1可得数列{a_n}是首项与公比均为$\frac{1}{2}$的等比数列，计算即可；
（Ⅱ）记在a_n与a_n+1之间插入3ⁿ的数为x₁，x₂，…，${x}_{{3}^{n}}$，利用等差中项的性质可得b_n=x₁+x₂+…+${x}_{{3}^{n}}$=$\frac{3}{4}$•$（\frac{3}{2}）^{n}$，从而可得T_n、$\frac{3}{2}$T_n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）由a₁=$\frac{1}{2}$，得S₁=a₁=p-a₁=$\frac{1}{2}$，
∴p=1，∴S_n=1-a_n．
当n≥2时，S_n-1=1-a_n-1．
两式相减，得a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1）=a_n-1-a_n，
∴2a_n=a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{1}{2}$（n≥2），
又∵首项a₁=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}是首项与公比均为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴a_n=$\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（Ⅱ）记在a_n与a_n+1之间插入3ⁿ的数为x₁，x₂，…，${x}_{{3}^{n}}$，
则$\frac{1}{{2}^{n}}$，x₁，x₂，…，x_n，$\frac{1}{{2}^{n+1}}$成等差数列，
∴b_n=x₁+x₂+…+${x}_{{3}^{n}}$
=$\frac{{x}_{1}+{x}_{{3}^{n}}}{2}$•3ⁿ
=$\frac{\frac{1}{{2}^{n}}+\frac{1}{{2}^{n+1}}}{2}•{3}^{n}$
=$\frac{3}{4}$•$（\frac{3}{2}）^{n}$，
∴c_n=$\frac{4}{3}n•$$\frac{3}{4}$•$（\frac{3}{2}）^{n}$=n•$（\frac{3}{2}）^{n}$，
则T_n=1×$\frac{3}{2}$+2×$（\frac{3}{2}）^{2}$+…+（n-1）×$（\frac{3}{2}）^{n-1}$+n×$（\frac{3}{2}）^{n}$，
∴$\frac{3}{2}$T_n=1×$（\frac{3}{2}）^{2}$+…+（n-2）×$（\frac{3}{2}）^{n-1}$+（n-1）×$（\frac{3}{2}）^{n}$+n×$（\frac{3}{2}）^{n+1}$，
两式相减，得$-\frac{1}{2}$T_n=$\frac{3}{2}$+$（\frac{3}{2}）^{2}$+…+$（\frac{3}{2}）^{n-1}$+$（\frac{3}{2}）^{n}$-n×$（\frac{3}{2}）^{n+1}$
=2×$（\frac{3}{2}）^{n+1}$-3-n×$（\frac{3}{2}）^{n+1}$
=6+（2n-4）×$（\frac{3}{2}）^{n+1}$．

点评 本题主要考查等比数列的通项公式、错位相减法求前n项和等知识，考查学生的运算求解能力，考查函数与方程及化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．