Question

12．已知函数f（x）=ax²+8x+b，g（x）=（a-1）x²+2（4-a）x．
（1）若h（x）=f（x）-g（x）在区间[1，2]内有两个不同的零点，求4a+5b的取值范围；
（2）若b=3，对于给定的负数a，有一个最大的正数l（a），使得在整个区间[0，l（a）]上，不等式|f（x）|≤5都成立，试求l（a）的解析式，并求l（a）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得h（x）=0在区间[1，2]内有两个不同的实数解，结合判别式大于0，对称轴和端点的函数值，得到不等式组，画出平面区域，运用平移法，即可得到所求范围；
（2）运用配方和分类讨论的思想方法，分-8＜a＜0时，a≤-8时，结合二次方程的求根公式，二次函数的最值，即可得到l（a）的解析式和最大值．

解答 解：（1）h（x）=f（x）-g（x）
=ax²+8x+b-（a-1）x²-2（4-a）x
=x²+2ax+b，由题意可得h（x）=0在区间[1，2]内有两个不同的实数解，
则有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-b＞0}\\{-2＜a＜-1}\\{1+2a+b＞0}\\{4+4a+b＞0}\end{array}\right.$，在直角坐标系中画出它们表示的平面区域，（由图中A，B，C构成的区域不包括边界），
将4a+5b=0平移，当经过点B（-2，4）时，4a+5b=12，
经过点C（-1，1）时，4a+5b=1，
则有4a+5b的取值范围是（1，12）；
（2）f（x）=a（x+$\frac{4}{a}$）²+3-$\frac{16}{a}$．
（1）当3-$\frac{16}{a}$＞5，即-8＜a＜0时，
l（a）是方程ax²+8x+3=5的较小根，故l（a）=$\frac{-8+\sqrt{64+8a}}{2a}$．
（2）当3-$\frac{16}{a}$≤5，即a≤-8时，
l（a）是方程ax²+8x+3=-5的较大根，故l（a）=$\frac{-8-\sqrt{64-32a}}{2a}$．
综合以上，l（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-8-\sqrt{64-32a}}{2a}，a≤-8}\\{\frac{-8+\sqrt{64+8a}}{2a}，-8＜a＜0}\end{array}\right.$．
当a≤-8时，l（a）=$\frac{-8+\sqrt{64-32a}}{2a}$=$\frac{4}{\sqrt{4-2a}-2}$≤$\frac{4}{\sqrt{20}-2}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
当-8＜a＜0时，l（a）=$\frac{-8+\sqrt{64+8a}}{2a}$=$\frac{2}{\sqrt{16+2a}+4}$＜$\frac{2}{4}$＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
所以a=-8时，l（a）取得最大值$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查二次方程实根的分布，以及二次函数的最值的求法，同时考查不等式组表示的平面区域和最值的求法，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．