Question

4．长方体的体积公式为V_长=Sh，柱体的体积公式为V_柱=Sh，锥体的体积公式为V_椎=$\frac{1}{3}$Sh．若给出原理“两等高的几何体，若被平行于底面的平面所截的截面积相等，则这两个几何体的体积相等”．试用上述知识解释球的体积公式V球=$\frac{4}{3}$πR³．

Answer 1

分析 由祖暅原理的内容的提示此题可先观察V_圆锥、V_半球、V_圆柱这三个量（等底等高）之间的不等关系，再构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，接下来利用祖暅原理证明猜想．

解答 解：我们先推导半球的体积．为了计算半径为R的半球的体积，我们先观察V_圆锥、V_半球、V_圆柱这三个量（等底等高）之间的不等关系，
可以发现V_圆锥＜V_半球＜V_圆柱，即$\frac{1}{3}$πR³＜V_半球＜πR³，根据这一不等关系，我们可以猜测V_半球=$\frac{2}{3}$πR³，并且由猜测可发现V_半球=V_圆柱-V_圆锥．
下面进一步验证了猜想的可靠性．关键是要构造一个参照体，这样的参照体我们可以用圆柱内挖去一个圆锥构造出，如图所示．下面利用祖暅原理证明猜想．

证明：用平行于平面α的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面．
如果截平面与平面α的距离为l，那么圆面半径r=$\sqrt{{R}^{2}-{l}^{2}}$，圆环面的大圆半径为R，小圆半径为r．
因此S_圆=πr²=π（R²-l²），
S_环=πR²-πl²=π（R²-l²），∴S_圆=S_环．
根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即V_半球=$π{R}^{2}•R-\frac{1}{3}π{R}^{2}•R$=$\frac{2}{3}$πR³，
所以V_球=$\frac{4}{3}$πR³．

点评 本题考查祖暅原理、几何体的体积，考查转化思想，是基础题．