Question

13．已知a，t为正实数，函数f（x）=x²-2x+a，且对任意的x∈[0，t]，都有f（x）∈[-a，a]．若对每一个正实数a，记t的最大值为g（a），则函数g（a）的值域为（0，1）∪{2}．

Answer 1

分析 根据函数的特征，要对t进行分类讨论，求出t的最大值，再根据a是正实数，求出g（a）的值域．

解答 解：∵f（x）=x²-2x+a∴函数f（x）的图象开口向上，对称轴为x=1
①0＜t≤1时，f（x）在[0，t]上为减函数，f（x）_max=f（0）=a，f（x）_min=f（t）=t²-2t+a
∵对任意的x∈[0，t]，都有f（x）∈[-a，a]．
∴-a=t²-2t+a，解得t=1-$\sqrt{1-2a}$（1+$\sqrt{1-2a}$舍去）
②t＞1时，f（x）在[0，1]上为减函数，在[1，t]上为增函数，
则f（x）_min=f（1）=a-1=-a，f（x）_max=max{f（0），
f（t）}=max{a，t²-2t+a}=a
∴a=$\frac{1}{2}$，且t²-2t+a≤a，即1＜t≤2
∵t的最大值为g（a）
∴综上，g（a）=2或1-$\sqrt{1-2a}$
∴函数g（a）的值域为（0，1）∪{2}
故答案为：（0，1）∪{2}．

点评 本题考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于中档题．