Question

4．在数列{a_n}中，已知a_n=3a_n-1+1（n≥2），a₃=13
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：对一切正整数n，都有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）直接代入计算即可；
（2）对a_n=3a_n-1+1（n≥2）变形可得${a}_{n}+\frac{1}{2}=3（{a}_{n-1}+\frac{1}{2}）$，进而可得结论；
（3）由（2）及放缩法可得$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{{2}^{n}}$（n≥2），利用等比数列的求和公式计算即可．

解答 （1）解：∵a_n=3a_n-1+1（n≥2），
∴a₂=3a₁+1，
∴a₃=3a₂+1=9a₁+4=13，
解得a₁=1；
（2）解：∵a_n=3a_n-1+1（n≥2），
∴${a}_{n}+\frac{1}{2}=3（{a}_{n-1}+\frac{1}{2}）$，
即数列{${a}_{n}+\frac{1}{2}$}是以$\frac{3}{2}$为首项、公比为3的等比数列，
∴${a}_{n}+\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}•{3}^{n}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$；
（3）证明：∵a_n=$\frac{1}{2}（{3}^{n}-1）$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{{3}^{n}-1}$，
∵$\frac{2}{{3}^{n}-1}$＜$\frac{1}{{2}^{n}}$（n≥2），
∴对一切正整数n，都有：
$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≤1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$
=1+$\frac{1}{4}•\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}$
＜1+$\frac{1}{2}$-$（\frac{1}{2}）^{n}$
＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查求数列的通项、前n项和，考查放缩法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，属于中档题．