Question

19．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t+\sqrt{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}$（t为参数），圆C的极坐标方程为p²+2psin（θ+$\frac{π}{4}$）+1=r²（r＞0）．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接根据互化公式消去相应的参数即可；
（Ⅱ）结合点到直线的距离公式求解即可．

解答 解：（Ⅰ）根据直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}t+\sqrt{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}$（t为参数），
消去参数，得
x+y-$\sqrt{2}$=0，
直线l的直角坐标方程为x+y-$\sqrt{2}$=0，
∵圆C的极坐标方程为p²+2psin（θ+$\frac{π}{4}$）+1=r²（r＞0）．
∴（x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=r²（r＞0）．
∴圆C的直角坐标方程为（x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=r²（r＞0）．
（Ⅱ）∵圆心C（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），半径为r，…（5分）
圆心C到直线x+y-$\sqrt{2}$=0的距离为d=$\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=2，
又∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，即d+r=3，
∴r=3-2=1．

点评 本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．