Question

7．定义在R上的函数f（x），满足f（x+1）=2f（x），已知x∈[-1，0]，f（x）=x²+x，当x∈[1，2]时，f（x）≤logm恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． m≤1
• B． 0＜m≤1
• C． m≥1
• D． 0＜m≤2

Answer 1

分析 可先根据已知条件求出函数在区间[1，2]上的解析式，然后根据f（x）≤$lo{g}_{\frac{1}{2}}m$构造出关于m的不等式求解即可．

解答 解：因为f（x+1）=2f（x），所以f（x）=2f（x-1）=4f（x-2）．
设x∈[1，2]，则x-2∈[-1，0]．
所以此时f（x）=4f（x-2）=4（x-2）²+4（x-2）=4[（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$]，x∈[1，2]．
易知f（x）_max=f（1）=f（2）=0，
所以要使当x∈[1，2]时，f（x）≤$lo{g}_{\frac{1}{2}}m$恒成立，
只需$lo{g}_{\frac{1}{2}}m≥f（x）=0$即可．
所以$lo{g}_{\frac{1}{2}}m≥lo{g}_{\frac{1}{2}}1$，因为y=log${\;}_{\frac{1}{2}}x$在定义域内是减函数．
所以0＜m≤1．
故选B．

点评 本题考查了不等式恒成立问题的解决方法，一般转化为函数最值问题求解，此例要注意对条件“f（x+1）=2f（x）”的转化作用的体会．