Question

7．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点在直线l：x-1=0上，且离心率e为$\frac{1}{2}$．
（1）求该椭圆的方程；
（2）若P与Q是该椭圆上不同的两点，且弦PQ的中点T在直线l上，试证：x轴上存在点R，对于所有满足条件的P与Q，恒有|RP|=|RQ|．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的性质、离心率计算公式e=$\frac{c}{a}$及a²=b²+c²即可得出；
（2）设T（1，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（r，0），则$\overrightarrow{RT}$=（1-r，y₀），$\overrightarrow{PQ}$=（x₂-x₁，y₂-y₁），只要证明$\overrightarrow{RT}$$•\overrightarrow{PQ}$=（1-r）（x₂-x₁）+y₀（y₂-y₁）=0即可，利用“点差法”中点坐标公式即可证明．

解答 （1）解：由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a═2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）证明：设T（1，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（r，0），
则$\overrightarrow{RT}$=（1-r，y₀），$\overrightarrow{PQ}$=（x₂-x₁，y₂-y₁），
∴$\overrightarrow{RT}$$•\overrightarrow{PQ}$=（1-r）（x₂-x₁）+y₀（y₂-y₁），
由点P，Q在椭圆上，∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{1}{3}$y₁²=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+$\frac{1}{3}$y₂²=1，
两式相减得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$+$\frac{1}{3}$（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2y₀，
即有$\frac{3}{4}$（x₂-x₁）+y₀（y₂-y₁）=0，
∴要使恒有|RP|=|RQ|，即为PQ⊥RT，
即有$\overrightarrow{RT}$•$\overrightarrow{PQ}$=0，
则有1-r=$\frac{3}{4}$，
解得r=$\frac{1}{4}$．
则有x轴上存在点R（$\frac{1}{4}$，0），对于所有满足条件的P与Q，恒有|RP|=|RQ|．

点评 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系、垂直与数量积的关系等基础知识与基本能力，考查了推理能力和计算能力．