Question

2．已知函数f（x）=x²+2ax+1（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数．
（1）若x∈[-2，-1]，不等式f（x）≤f′（x）恒成立，求a的取值范围；
（2）解关于x的方程f（x）=|f′（x）|；
（3）设函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{f}^{′}（x），f（x）≥{f}^{′}（x）}\\{f（x），f（x）＜{f}^{′}（x）}\end{array}\right.$，求g（x）在x∈[2，4]时的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出导数，运用参数分离和函数的最值，即可得到a的取值范围；
（2）化简方程即为|x+a|=1+a或|x+a|=1-a． 对a讨论，分①当a＜-1时，②当-1≤a≤1时，③当a＞1时，分别解出方程即可；
（3）f（x）-f′（x）=（x-1）[x-（1-2a）]，对a讨论，分①若a≥-$\frac{1}{2}$，②若a＜-$\frac{3}{2}$，③若-$\frac{3}{2}$≤a＜-$\frac{1}{2}$，运用函数的单调性即可得到最值．

解答 解：（1）因为f（x）≤f'（x），所以x²-2x+1≤2a（1-x），
又因为-2≤x≤-1，所以a≥$\frac{{x}^{2}-2x+1}{2（1-x）}$在x∈[-2，-1]时恒成立，
因为$\frac{{x}^{2}-2x+1}{2（1-x）}$=$\frac{1-x}{2}$≤$\frac{3}{2}$，
所以a≥$\frac{3}{2}$．
（2）因为f（x）=|f'（x）|，所以x²+2ax+1=2|x+a|，
所以（x+a）²-2|x+a|+1-a²=0，则|x+a|=1+a或|x+a|=1-a． 
①当a＜-1时，|x+a|=1-a，所以x=-1或x=1-2a；
②当-1≤a≤1时，|x+a|=1-a或|x+a|=1+a，所以x=±1或x=1-2a或x=-（1+2a）；
③当a＞1时，|x+a|=1+a，所以x=1或x=-（1+2a）．
（3）因为f（x）-f′（x）=（x-1）[x-（1-2a）]，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f′（x），f（x）≥f′（x）}\\{f（x），f（x）＜f′（x）}\end{array}\right.$，
①若a≥-$\frac{1}{2}$，则x∈[2，4]时，f（x）≥f'（x），所以g（x）=f'（x）=2x+2a，
从而g（x）的最小值为g（2）=2a+4；            
②若a＜-$\frac{3}{2}$，则x∈[2，4]时，f（x）＜f'（x），所以g（x）=f（x）=x²+2ax+1，
当-2≤a＜-$\frac{3}{2}$时，g（x）的最小值为g（2）=4a+5，
当-4＜a＜-2时，g（x）的最小值为g（-a）=1-a²，
当a≤-4时，g（x）的最小值为g（4）=8a+17．
③若-$\frac{3}{2}$≤a＜-$\frac{1}{2}$，则x∈[2，4]时，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2ax+1，x∈[2，1-2a）}\\{2x+2a，x∈[1-2a，4]}\end{array}\right.$，
当x∈[2，1-2a）时，g（x）最小值为g（2）=4a+5；
当x∈[1-2a，4]时，g（x）最小值为g（1-2a）=2-2a．
因为-$\frac{3}{2}$≤a＜-$\frac{1}{2}$，（4a+5）-（2-2a）=6a+3＜0，
所以g（x）最小值为4a+5．
综上所述，[g（x）]_min=$\left\{\begin{array}{l}{8a+17，a≤-4}\\{1-{a}^{2}，-4＜a＜-2}\\{4a+5，-2≤a＜-\frac{1}{2}}\\{2a+4，a≥-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$

点评 本题主要考查二次函数的最值和二次方程的求解，同时考查分类讨论的思想方法的运用，以及不等式恒成立问题，运用参数分离和转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．