Question

13．下列函数中，既为奇函数又在（0，+∞）内单调递减的是（　　）

• A． f（x）=xsinx
• B． f（x）=x${\;}^{-\frac{1}{2}}$
• C． f（x）=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$
• D． f（x）=x-$\frac{3}{x}$

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可．

解答 解：A．f（-x）=-xsin（-x）=xsinx，为偶函数，不满足条件．
B．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．
C．f（-x）=$\frac{1-{e}^{-x}}{1+{e}^{-x}}$=$\frac{{e}^{x}-1}{1+{e}^{x}}$=-$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$=-f（x），则函数f（x）为奇函数，且f（x）=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$=$\frac{2}{1+{e}^{x}}-1$为减函数，满足条件．
D．f（x）是奇函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不满足条件．
故选：C

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据相应的定义和性质是解决本题的关键．