Question

8．将射线y=$\frac{1}{7}$x（x≥0）绕着原点逆时针旋转$\frac{π}{4}$后所得的射线经过点A=（cosθ，sinθ）．
（Ⅰ）求点A的坐标；
（Ⅱ）若向量$\overrightarrow{m}$=（sin2x，2cosθ），$\overrightarrow{n}$=（3sinθ，2cos2x），求函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设射线y=$\frac{1}{7}$x（x≥0）的倾斜角为α，则tanα=$\frac{1}{7}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$）．再由两角和的正切公式和同角的基本关系式，计算即可得到；
（Ⅱ）运用向量的数量积的坐标表示和两角和的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可计算得到值域．

解答 解：（Ⅰ）设射线y=$\frac{1}{7}$x（x≥0）的倾斜角为α，则tanα=$\frac{1}{7}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$）．
∴tanθ=tan（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\frac{1}{7}+1}{1-\frac{1}{7}×1}$=$\frac{4}{3}$，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ=1}\\{\frac{sinθ}{cosθ}=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{4}{5}}\\{cosθ=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
∴点A的坐标为（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
（Ⅱ）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=3sinθ•sin2x+2cosθ•2cos2x=$\frac{12}{5}$sin2x+$\frac{12}{5}$cos2x
=$\frac{12\sqrt{2}}{5}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴函数f（x）的值域为[-$\frac{12}{5}$，$\frac{12\sqrt{2}}{5}$]．

点评 本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．