Question

3．关于函数f（x）=（$\frac{3}{2}$）^x-sinx-1，给出下列四个命题：
①该函数没有大于0的零点；
②该函数有无数个零点；
③该函数在（0，+∞）内有且只有一个零点；
④若x₀是函数的零点，则x₀＜2．
其中所有正确命题的序号是②③④．

Answer 1

分析 如图所示，利用导数研究函数的单调性、函数零点存在判定定理、图象的性质即可判断出．

解答 解：①函数f（x）=（$\frac{3}{2}$）^x-sinx-1，如图所示，∵f（2）=$\frac{9}{4}-sin2-1$＞0，f（1）=$\frac{1}{2}$-sin1＜0，
∴$f（\frac{3}{2}）f（1）$＜0，因此函数f（x）在（1，2）内存在零点，故①不正确；
②由图象可知：x＜0时，函数有无数个零点，正确；
③当x＞2时，f′（x）=$（\frac{3}{2}）^{x}ln\frac{3}{2}$-cosx＞0，函数f（x）单调递增，因此x＞2，时，不存在零点．
故该函数在（0，+∞）内有且只有一个零点；
④若x₀是函数的零点，由③可知：x₀＜2，正确．
其中所有正确命题的序号是：②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数零点存在判定定理、图象的性质、简易逻辑的判定，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．