Question

1．定义在R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，且满足f（3-x）=f（x），当x≠$\frac{3}{2}$时总有（x-$\frac{3}{2}$）f′（x）＞0（f′（x）是f（x）的导函数），若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞3，则（　　）

• A． f（x₁）＞f（x₂）
• B． f（x₁）＜f（x₂）
• C． f（x₁）=f（x₂）
• D． f（x₂）与f（x₂）的大小无法确定

Answer 1

分析 根据已知条件便可得到f（x）关于x=$\frac{3}{2}$对称，在区间$（-∞，\frac{3}{2}）$上单调递减，而在$（\frac{3}{2}，+∞）$上单调递增，从而可以画出f（x）的大致图象，根据图象上的点关于对称轴的对称点的横坐标之和为3并结合图象即可判断出f（x₁）和f（x₂）的大小关系．

解答 解：根据f（3-x）=f（x）知f（x）关于x=$\frac{3}{2}$对称；
当x$≠\frac{3}{2}$时，总有$（x-\frac{3}{2}）f′（x）＞0$；
∴$x∈（-∞，\frac{3}{2}）$时f（x）单调递减，$x∈（\frac{3}{2}，+∞）$时f（x）单调递增；
∴f（x）的大致形状如下图所示：

x₁+x₂＞3，∴（1）若${x}_{1}∈（-∞，\frac{3}{2}），{x}_{2}∈（\frac{3}{2}，+∞）$，作点（x₁，f（x₁））关于x=$\frac{3}{2}$的对称点为（x₃，f（x₃）），则：
x₁+x₃=3；
∴x₂＞x₃；
∴f（x₂）＞f（x₃）=f（x₁）；
即f（x₂）＞f（x₁）；
（2）若${x}_{1}，{x}_{2}∈[\frac{3}{2}，+∞）$，x₁＜x₂；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴综上得f（x₁）＜f（x₂）．
故选B．

点评 考查由f（a-x）=f（x）能得到f（x）关于$x=\frac{a}{2}$对称，函数导数符号和函数单调性的关系，以及数形结合解题的方法．