Question

3．如图四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，且CD=2，AB=BC=PA=1，PD=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求三棱锥A-PCD的体积；
（Ⅱ）问：棱PB上是否存在点E，使得PD∥平面ACE？若存在，求出$\frac{BE}{BP}$的值，并加以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD中点G，连接AG，利用已知可得：四边形AGCB为平行四边形，∠AGD=∠DCB=∠ABC=90°，在Rt△AGD中，AG=BC=1，DG=$\frac{1}{2}$CD=1，利用勾股定理与逆定理可得：PA⊥AD．利用面面垂直的性质定理可得：PA⊥平面ABCD，利用V_A-PCD=V_P-ACD=$\frac{1}{3}•{S}_{△ACD}•PA$，即可得出．
（II）棱PB上存在点E，当$\frac{BE}{BP}$=$\frac{1}{3}$时，PD∥平面ACE．连接BD交AC于点O，连接OE．利用平行线分线段成比例定理再三角形中的应用：可得OE∥DP．

解答 解：（Ⅰ）取CD中点G，连接AG，
∵CD=2AB，AB∥CD，
∴AB∥GC，AB=GC，
∴四边形AGCB为平行四边形，
∴∠AGD=∠DCB=∠ABC=90°，
在Rt△AGD中，∵AG=BC=1，DG=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴AD=$\sqrt{A{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴PD²=3=PA²+AD²，
∴∠PAD=90°，即PA⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PA⊥平面ABCD，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}CD•AG$=1，
∴V_A-PCD=V_P-ACD=$\frac{1}{3}•{S}_{△ACD}•PA$
=$\frac{1}{3}×1×1$=$\frac{1}{3}$．
（ II）棱PB上存在点E，当$\frac{BE}{BP}$=$\frac{1}{3}$时，PD∥平面ACE．
证明：连接BD交AC于点O，连接OE．
∵AB∥CD，CD=2AB，
∴$\frac{BO}{OD}$=$\frac{AB}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BO}{BD}$=$\frac{1}{3}$，又$\frac{BE}{BP}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BO}{BD}=\frac{BE}{BP}$，
∴OE∥DP，
又OE?平面ACE，PD?ACE，
∴PD∥ACE．

点评 本题主要考查空间线线、线面的位置关系、体积的计算等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．