Question

13．如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．

（1）当θ=$\frac{2π}{3}$ 时，求点P距地面的高度PQ；
（2）试确定θ 的值，使得∠MPN取得最大值．

Answer 1

分析 （1）将所求的高度、已知的角与线段长度放在一个三角形中结合三角函数的定义求解即可；
（2）借助于角θ，把∠MPN表示出来，然后利用导数研究该函数的最值．

解答 解：（1）由题意得PQ=50-50cosθ，
从而当$θ=\frac{2}{3}π$时，PQ=50-50cos$\frac{2}{3}π$=75．
即点P距地面的高度为75米．
（2）由题意得，AQ=50sinθ，从而MQ=60-50sinθ，NQ=300-50sinθ．
又PQ=50-50cosθ，所以tan$∠NPQ=\frac{NQ}{PQ}=\frac{6-sinθ}{1-cosθ}$，tan$∠MPQ=\frac{MQ}{PQ}=\frac{6-5sinθ}{5-5cosθ}$．
从而tan∠MPN=tan（∠NPQ-∠MPQ）=$\frac{tan∠NPQ-tan∠MPQ}{1+tan∠NPQ•tan∠MPQ}$
=$\frac{\frac{6-sinθ}{1-cosθ}-\frac{6-5sinθ}{5-5cosθ}}{1+\frac{6-sinθ}{1-cosθ}×\frac{6-5sinθ}{5-5cosθ}}=\frac{12（1-cosθ）}{23-18sinθ-5cosθ}$．
令g（θ）=$\frac{12（1-cosθ）}{23-18sinθ-5cosθ}$．θ∈（0，π）
则$g′（θ）=\frac{12×18（sinθ+cosθ-1）}{（23-18sinθ-5cosθ）^{2}}$，θ∈（0，π）．
由g′（θ）=0，得sinθ+cosθ-1=0，解得$θ=\frac{π}{2}$．
当$θ∈（0，\frac{π}{2}）$时，g′（θ）＞0，g（θ）为增函数；当x$∈（\frac{π}{2}，π）$时，g′（θ）＜0，g（θ）为减函数．
所以当θ=$\frac{π}{2}$时，g（θ）有极大值，也是最大值．
因为$0＜∠MPQ＜∠NPQ＜\frac{π}{2}$．所以$0＜∠MNP＜\frac{π}{2}$．
从而当g（θ）=tan∠MNP取得最大值时，∠MPN取得最大值．
即当$θ=\frac{π}{2}$时，∠MPN取得最大值．

点评 本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值．