Question

5．设函数f（x）=sinxcos（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，x∈R．
（1）设$α，β∈[0，\frac{π}{2}]$，$f（\frac{α}{2}+\frac{π}{12}）=\frac{5}{26}，f（\frac{β}{2}-\frac{5π}{12}）=-\frac{3}{10}$，求sin（α-β）的值．
（2）△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列；且a+c=6，$f（\frac{B}{2}）=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）f（x）解析式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，确定出sinα与sinβ的值，进而求出cosα与cosβ的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；
（2）由f（$\frac{B}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$求出B的度数，由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质得到b²=ac，利用余弦定理列出关系式，将cosB以及b²=ac代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答 解：（1）f（x）=sinx（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$sin（α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$sinα=$\frac{5}{26}$，
即sinα=$\frac{5}{13}$；f（$\frac{β}{2}$-$\frac{5π}{12}$）=$\frac{1}{2}$sin（β-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{1}{2}$cosβ=-$\frac{3}{10}$，即sinβ=$\frac{3}{5}$，
∵α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴cosα=$\frac{12}{13}$，cosβ=$\frac{4}{5}$，
则sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{16}{65}$；
（2）∵f（$\frac{B}{2}$）=$\frac{1}{2}$sin（B+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，即sin（B+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，即B=$\frac{π}{3}$，
又a、b、c成等比数列，∴b²=ac，
由余弦定理知$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{（a+c）^{2}-3ac}{2ac}$=$\frac{36-3ac}{2ac}$，即ac=9，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，等比数列的性质，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．