Question

4．为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22公里的地铁票价如下表：

乘坐里程x（单位：km）	0＜x≤6	6＜x≤12	12＜x≤22
票价（单位：元）	3	4	5

现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里．已知甲、乙乘车不超过6公里的概率分别为$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$，求出甲、乙两人所付乘车费用相同的概率，即可求解甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率．
（Ⅱ）求出ξ=6，7，8，9，10，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$
则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率${P_1}=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$…（2分）
所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率$P=1-{P_1}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$…（4分）
（Ⅱ）由题意可知，ξ=6，7，8，9，10
则$P（ξ=6）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$$P（ξ=7）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$$P（ξ=8）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$P（ξ=9）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$$P（ξ=10）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$…（10分）
所以ξ的分布列为

ξ	6	7	8	9	10
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{12}$

则$E（ξ）=6×\frac{1}{12}+7×\frac{1}{4}+8×\frac{1}{3}+9×\frac{1}{4}+10×\frac{1}{12}=8$…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，考查计算能力．