Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ ax2+bx+1的图象在x=1处的切线l过点（ ， ）．
（1）若函数g（x）=f（x）﹣（a﹣1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）；
（2）若a=﹣4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2=2，证明：x1+x2≥ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=lnx﹣ ax2+bx+1的导数为：

f′（x）= ﹣ax+b，

可得图象在x=1处的切线l的斜率为k=1﹣a+b，

切点为（1，1+b﹣ a），

由切线经过点（ ， ），

可得1﹣a+b= ，

化简可得，b=0，

则f（x）=lnx﹣ ax2+1，g（x）=lnx﹣ ax2+1﹣（a﹣1）x（x＞0，a＞0），

g′（x）= ﹣ax﹣（a﹣1）=﹣ ，

当0＜x＜ 时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＞ 时，g′（x）＜0，g（x）递减．

可得g（x）max=g（ ）=﹣lna﹣ +1﹣1+ = ﹣lna；

（2）证明：a=﹣4时，f（x）=lnx+2x2+1，

f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2=2，

可得lnx1+2x12+1+lnx2+2x22+1+x1+x2+3x1x2=2，

化为2（x12+x22+2x1x2）+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），

即有2（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），

令t=x1x2，t＞0，设h（t）=t﹣lnt，

h′（t）=1﹣ ，当t＞1时，h′（t）＞0，h（t）递增；当0＜t＜1时，h′（t）＜0，h（t）递减．

即有h（t）在t=1取得最小值1，

则2（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，

可得（x1+x2+1）（2x1+2x2﹣1）≥0，

则2x1+2x2﹣1≥0，

可得x1+x2≥ ．

【解析】（1）对f（x）进行求导，结合切线方程得到b=0，对g（x）求导，求出g（x）的最大值，（2）当a=-4，得到f（x）的解析式，由条件化简得到2（x12+x22+2x1x2）+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），令t=x1x2，t＞0，设h（t）=t﹣lnt，求导得到h（t）在t=1取得最小值，即可得到结论.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．