Question

【题目】若a＞0，b＞0，且 ．
（I） 求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．

Answer 1

【答案】【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且 + = ，

∴ = + ≥2 ，∴ab≥2，

当且仅当a=b= 时取等号．

∵a3+b3 ≥2 ≥2 =4 ，当且仅当a=b= 时取等号，

∴a3+b3的最小值为4 ．

（Ⅱ）∵2a+3b≥2 =2 ，当且仅当2a=3b时，取等号．

而由（1）可知，2 ≥2 =4 ＞6，

故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．

【解析】（1）两次连续代入公式，注意“=”成立条件是：当且仅当a=b.
（2）同样代入公式，此时“=”成立的条件是2a=3b，与题目a=b不同，故不成立。
【考点精析】利用基本不等式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：．