Question

【题目】已知 ， ，函数 的最小值为4.
（1）求 的值；
（2）求 的最小值.

Answer 1

【答案】
（1）解：因为， ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，又 ， ，
所以 ，所以 的最小值为 ，所以 .
（2）解：由（1）知 ， .

当且仅当 ， 时， 的最小值为 .
【解析】（1）根据绝对值的性质，可得| x + a | + | x b | ≥ | a b | = | a + b | ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，又 ， ，所以 ，所以 的最小值为 ，所以 .
（2）因为 a + b = 4 ， b = 4 a ，将b参数化掉最后变成一个一元二次方程，就可以求出其最小值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解复合函数单调性的判断方法的相关知识，掌握复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”，以及对二次函数在闭区间上的最值的理解，了解当时，当时，；当时在上递减，当时，．