Question

【题目】如图，矩形 中， ， ，点 是 上的动点．现将矩形 沿着对角线 折成二面角 ，使得 ．

（Ⅰ）求证：当 时， ；
（Ⅱ）试求 的长，使得二面角 的大小为 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）连结 ， ．

在矩形 中， ,
, ．
在 中，∵ ,
，
∵ ，
，即 ．
又在 中，

，
∴在 中， ,
,
又 ,
∴ 平面 ．
∴ ．
（Ⅱ）解：在矩形 中，过 作 于 ，并延长交 于 . 沿着对角线 翻折后，
由（Ⅰ）可知， 两两垂直，
以 为原点， 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ，则
,
平面 ,
为平面 的一个法向量．
设平面 的法向量为
， ,
由 得
取 则 , ．
即 ,
．
当 时，二面角 的大小是
【解析】（Ⅰ）根据题目中所给的条件的特点，连结DF，BF．通过计算推出DF⊥AC，得到D'F⊥AC，然后证明D'F⊥平面ABC．推出利用线面垂直的性质得到D'F⊥BC．
（Ⅱ）先说明OE，OC，OD'两两垂直，以O为原点，建立适当的空间直角坐标系O-xyz，求出平面AD'F的一个法向量．以及平面BD'F的法向量，通过用空间向量求平面间的夹角的方法，利用向量的数量积求解二面角的平面角的余弦值即可．