Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an≠0，anan+1=4Sn﹣1．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明： + +…+ ＜2．

Answer 1

【答案】（I）解：由题设，anan+1=4Sn﹣1，得an+1an+2=4Sn+1﹣1．

两式相减得an+1（an+2﹣a）=4an+1．

由于an+1≠0，∴an+2﹣an=4．

由题设，a1=1，a1a2=4S1﹣1，可得a2=3．

故可得{a2n﹣1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n﹣1=4n﹣3=2（2n﹣1）﹣1；

{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n=4n﹣1=22n﹣1．

∴ ；

（Ⅱ）证明： ，

当n＞1时，由 ，得

，

∴

【解析】（Ⅰ）化简anan+1=4Sn﹣1求得数列{an}的特点，进而求得数列{an}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求得数列的前n项和，代入后求得所给不等式成立.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．