Question

8．在平面直角坐标系xOy中，F₁，F₂是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，顶点B（0，b），且△BF₁F₂是边长为2的等边三角形
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点F₂的且斜率为k的直线l与椭圆交于A、C两点，如AF₂=2CF₂，求k的值；
（3）若点M为椭圆右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），右顶点为D，设线段F₁M交椭圆于P，PD斜率为k₁，MD的斜率为k₂，求k₁k₂的范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：a=2，c=1，b²=a²-c²=3，即可求得椭圆的方程；
（2）由$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}C}$，求得C点坐标，代入椭圆方程，求得A点坐标，根据斜率公式即可求得直线l的斜率k，
（3）由题意设P（x₀，y₀），x₀∈（-1，2）由向量的共线定理，求得M点纵坐标，y_M=$\frac{5{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，将P代入椭圆方程，求得${y}_{0}^{2}$=$\frac{12-3{x}_{0}^{2}}{4}$，k₁k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$•$\frac{5{y}_{0}}{2（{x}_{0}+1）}$=$\frac{5{y}_{0}^{2}}{2（{x}_{0}-2）（{x}_{0}+1）}$，根据x₀的取值范围，即可求得k₁k₂的范围．

解答 解：（1）由题意可知：a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），F₂（1，0），
则$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}C}$，解得：C（$\frac{3-{x}_{1}}{2}$，-$\frac{{y}_{1}}{2}$），
分别代入椭圆方程：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}=1}\\{\frac{（\frac{3-{x}_{1}}{2}）^{2}}{4}+\frac{（-\frac{{y}_{1}}{2}）^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{1}{2}}\\{{y}_{1}=±\frac{3\sqrt{5}}{4}}\end{array}\right.$，
故直线l的斜率k=$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}-1}$=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
（3）设P（x₀，y₀），x₀∈（-1，2），$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（x₀+1，y₀），$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=（5，y_M），
由F₁，P，M三点共线，
y_M=$\frac{5{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$•$\frac{5{y}_{0}}{2（{x}_{0}+1）}$=$\frac{5{y}_{0}^{2}}{2（{x}_{0}-2）（{x}_{0}+1）}$，
由$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，则${y}_{0}^{2}$=$\frac{12-3{x}_{0}^{2}}{4}$，
∴k₁k₂=$\frac{5{y}_{0}^{2}}{2（{x}_{0}-2）（{x}_{0}+1）}$=-$\frac{15}{8}$•$\frac{{x}_{0}+2}{{x}_{0}+1}$=-$\frac{15}{8}$•（1+$\frac{1}{{x}_{0}+1}$），
∵x₀∈（-1，2），
∴-•（1+$\frac{1}{{x}_{0}+1}$）∈（-∞，-$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线的斜率公式，向量的共线定理，函数函数的取值范围的应用，考查计算能力，属于中档题．