Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac{cosB}{b}$+$\frac{cosA}{a}$=$\frac{sin（A+B）}{sinB}$．
（1）求a；
（2）若cosA=$\frac{1}{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理，正弦定理，三角形内角和定理化简已知等式即可解得a的值．
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，利用余弦定理，基本不等式可求bc≤$\frac{3}{4}$（当且仅当b=c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时取等号），利用三角形面积公式即可得解最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$\frac{cosB}{b}$+$\frac{cosA}{a}$=$\frac{sin（A+B）}{sinB}$，
∴原式化为$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2abc}$+$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2abc}$=$\frac{c}{b}$，解得a=1．…（6分）
（2）∵cosA=$\frac{1}{3}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵由余弦定理可得：b²+c²-$\frac{2bc}{3}$=1，
∴bc≤$\frac{3}{4}$（当且仅当b=c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时取等号），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$（当且仅当b=c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时取等号），即△ABC面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．