Question

3．下列命题中正确的是（　　）

• A． 函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数
• B． 函数y=2sin（$\frac{π}{6}$-2x）在区间[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]上单调递减
• C． 函数y=2sin（$\frac{π}{3}-2x$）-cos（$\frac{π}{6}+2x$）（x∈R）的一条对称轴方程是x=$\frac{π}{6}$
• D． 函数y=sinπx•cosπx的最小正周期为2，且它的最大值为1

Answer 1

分析 利用诱导公式及二倍角公式化简，利用正弦及余弦函数图象及性质，分别判断，即可求得答案．

解答 解：由y=sinx为奇函数，并不是x∈[0，2π]是奇函数，故A错误；
y=2sin（$\frac{π}{6}$-2x）=-2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得：-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴y=2sin（$\frac{π}{6}$-2x）单调递减区间为[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z，
当k=0时，单调递减区间为[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]，
∴函数y=2sin（$\frac{π}{6}$-2x）在区间[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]上单调递减，
故B正确；
y=2sin（$\frac{π}{3}-2x$）-cos（$\frac{π}{6}+2x$）=2cos[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{3}-2x$）]-cos（$\frac{π}{6}+2x$）=cos（2x+$\frac{π}{6}$），
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，解得：x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
x=$\frac{π}{6}$不是数y=2sin（$\frac{π}{3}-2x$）-cos（$\frac{π}{6}+2x$）（x∈R）的一条对称轴，故C错误；
由y=sinπx•cosπx=$\frac{1}{2}$sin2πx，
∴函数的周期T=$\frac{2π}{ω}$=1，最大值为$\frac{1}{2}$，故D错误，
故选B．

点评 本题考查诱导公式及二倍角公式的应用，考查正弦函数的单调性，周期及最值的性质，考查正弦函数的综合应用，属于中档题．