Question

18．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=a+2t}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t为参数），圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为常数）．
（1）求直线l和圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；在圆C的参数方程中，由sin²θ+cos²θ=1，能求出圆C的普通方程．
（2）由直线l与圆C有公共点，得到圆心C（2，0）到直线l：2x-2-2a=0的距离不大于半径，由此能求出实数a的取值范围．

解答 （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（1）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=a+2t}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数t，得：x=a+$\frac{y}{2}$，整理，得：2x-y-2a=0．
∴直线l的普通方程为：2x-y-2a=0．
∵圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ为常数），
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=x-2}\\{sinθ=y}\end{array}\right.$，
∵sin²θ+cos²θ=1，
∴圆C的普通方程为：（x-2）²+y²=1．
（2）∵直线l与圆C有公共点，
圆C：（x-2）²+y²=1的圆心为C（2，0），半径为r=1，
∴圆心C（2，0）到直线l：2x-2-2a=0的距离：
$d=\frac{{|{4-2a}|}}{{\sqrt{5}}}≤1$，
解得$\frac{4-\sqrt{5}}{2}≤a≤\frac{4+\sqrt{5}}{2}$，
∴实数a的取值范围是（$\frac{4-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{4+\sqrt{5}}{2}$）．

点评 本题考查直线与圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．