Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，其左右焦点分别为F₁、F₂，过椭圆的左焦点F₁作一条倾斜角为45°的直线与椭圆交于A，B两点
（1）求三角形ABF₂的周长；
（2）求弦长|AB|．

Answer 1

分析 （1）三角形ABF₂的周长=|AB|+|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=2a+2a=4a．
（2）c=1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=x+1．与椭圆方程联立化为：9x²+10x-15=0，利用|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）三角形ABF₂的周长=|AB|+|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=2a+2a=4a=4$\sqrt{5}$．
（2）c=$\sqrt{5-4}$=1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=x+1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为：9x²+10x-15=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{10}{9}$，x₁x₂=-$\frac{15}{9}$．
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×[（-\frac{10}{9}）^{2}-4×（-\frac{15}{9}）]}$=$\frac{16}{9}\sqrt{5}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．