Question

9．已知等差数列{a_n}的公差d＞1，前10项和S₁₀=100，{b_n}为等比数列，公比为q，且q=d，b₁=a₁，b₂=2．
（1）求a_n和b_n；
（2）设c_n=$\frac{{{a_n}-2}}{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S₁₀=10a₁+$\frac{（10-1）×10}{2}$×d=100，则2a₁+9d=20，由q=d，b₁=a₁，b₂=2，则a₁=$\frac{2}{d}$，代入即可求得a₁=1，d=2，则b₁=a₁=1，q=d=2，根据等比数列和等差数列通项公式即可求得a_n和b_n；
（2）由（1）可知：${c_n}=\frac{2n-3}{{{2^{n-1}}}}$，利用“错位相减法”即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由等差数列前n项和公式，S₁₀=10a₁+$\frac{（10-1）×10}{2}$×d=100，整理得：2a₁+9d=20，
由q=d，b₁=a₁，b₂=2．
b₂=b₁•q=a₁•d=2，
∴a₁=$\frac{2}{d}$，
∵d＞1，
解得：a₁=1，d=2．…（4分）
由等差数列通项可知：a_n=2n-1．…（5分）
又b₁=a₁=1，q=d=2，
∴${b_n}={2^{n-1}}$．…（7分）
（2）由（1）知${c_n}=\frac{2n-3}{{{2^{n-1}}}}$．…（8分）
数列{c_n}的前n项和T_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n，
=-1+$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}$T_n=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=-1+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$，
=-1+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-2}}•\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$，
=-1+2-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$，
=1-（$\frac{4}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$），
=1-$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=2-$\frac{2n+1}{{2}^{n-1}}$，
数列{c_n}的前n项和T_n，T_n=2-$\frac{2n+1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查等差数列及等比数列通项公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．