Question

20．设A，B，C，D，是平面直角坐标系中不同的四点，若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（λ∈R），且$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=2，则称C，D是关于A，B的“好点对”．已知M，N是关于A，B的“好点对”，则下面说法正确的是（　　）

• A． M可能是线段AB的中点
• B． M，N 可能同时在线段BA延长线上
• C． M，N 可能同时在线段AB上
• D． M，N不可能同时在线段AB的延长线上

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$中，点C的相对位置与λ的取值范围去求解，点C在线段AB上（不含端点），λ∈（0，1），点C在线段AB延长线上（不含端点），λ＞1．

解答 解：设A，B，C，D，是平面直角坐标系中不同的四点，若$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（λ∈R），且$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=2，对于选项A，M是线段AB的中点，
则λ=2，$\frac{1}{λ}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{μ}$=，0，故A选项错误；
对于B和D，若M，N同时在线段AB的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$＜2，
故M，N不可能同时在线段AB的延长线上，故D选项正确，B项错；
对于选项C，若M，N同时在线段AB上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒且$\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$＞2，C选项错误；
故选D．

点评 本题考查了向量的数乘运算及其几何含义，属于难题．