Question

8．已知△ABC的内角A，B，C满足sinC[cos（A-B）+cosC]=$\frac{1}{4}$，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（　　）

• A． bc（b+c）≤8
• B． bc（b+c）＞8
• C． 12≤abc≤24
• D． 6≤abc≤12

Answer 1

分析 根据三角恒等变换化简sin C[cos（A-B）+cosC]=$\frac{1}{4}$，得出sinAsinBsinC的值，再利用△ABC的面积S根式求出△ABC外接圆半径R的取值范围，即可判断bc（b+c）的取值范围．

解答 解：△ABC中，sinC[cos（A-B）+cosC]=$\frac{1}{4}$，
∴sinC[cos（A-B）-cos（A+B）]=$\frac{1}{4}$，
∴sinC[cosAcosB+sinAsinB-cosAcosB+sinAsinB]=$\frac{1}{4}$，
即2sinAsinBsinC=$\frac{1}{4}$，
∴sinAsinBsinC=$\frac{1}{8}$；
又△ABC的面积S满足1≤S≤2，
∴S=$\frac{1}{2}$absinC=2R²sinAsinBsinC=$\frac{{R}^{2}}{4}$∈[1，2]，
其中R为△ABC外接圆的半径，
∴R²∈[4，8]，
∴bc（b+c）＞bca=8R³sinAsinBsinC=R³≥2³=8，
即bc（b+c）＞8成立．
故选：B．

点评 本题考查了三角恒等变换以及正弦定理的应用问题，也考查了不等式的应用问题，是难题．