Question

10．已知公差不为零的等差数列{a_n}，满足a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比数列，数列{b_n}是首项为9，公比为3的等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列和等差数列的通项公式进行求解即可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求出数列{c_n}的通项公式，利用错位相减法进行求和即可

解答 解：（1）∵数列{a_n}是首项a₁=2的等差数列，a₁，a₂，a₄成等比数列，
所以${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}•{a}_{4}$即（2+d）²=2（2+3d），解得d=2（d=0舍去），
数列{b_n}是首项为9，公比为3的等比数列．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．b_n=3ⁿ⁺¹；
（2）∵a_n=2n，b_n=3ⁿ⁺¹．
∴c_n=a_n•b_n=2n•3ⁿ⁺¹．
则S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
即S_n=2•3²+4•3³+…+2n•3ⁿ⁺¹，
3S_n=2•3³+4•3⁴+…+2（n-1）•3ⁿ⁺¹+（2n）•3ⁿ⁺²，
两式相减得-2S_n=2•3²+2•3³+2•3⁴+…+2•3ⁿ⁺¹-（2n）•3ⁿ⁺²
=2×$\frac{{3}^{2}（1-{3}^{n}）}{1-3}$-（2n）•3ⁿ⁺²
=-9+3ⁿ⁺²-（2n）•3ⁿ⁺²
=-9+（1-2n）•3ⁿ⁺²
则S_n=$\frac{9}{2}$+（n-$\frac{1}{2}$）•3ⁿ⁺²．

点评 本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式的求解，以及利用错位相减法进行求和，考查学生的运算能力．