Question

13．已知函数f（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$，g（x）=-2ax+a+1，h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当a=-1时，证明：h（x）为奇函数；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=log₃[g（x）]有两个不等实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）先求出h（x）的定义域是否对称，再计算h（-x）并化简，观察h（-x）和h（x）的关系得出结论；
（II）根据f（x）=log₃[g（x）]得$\frac{x-1}{x+1}=-2ax+a+1$，化简为2ax²+ax-a-2=0，讨论a是否为0得出x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$=0，利用二次函数的性质得出a的范围．

解答 解：（I）证明：a=-1时，h（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$+2x，
由函数有意义得$\frac{x-1}{x+1}$＞0，解得x＜-1或x＞1．
∴h（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），关于原点对称．
∵h（-x）=log₃$\frac{-x-1}{-x+1}$-2x=log₃$\frac{x+1}{x-1}$-2x=-h（x），
∴h（x）为奇函数．
（II）由f（x）=log₃g（x）可得$\frac{x-1}{x+1}=-2ax+a+1$，
化简得，2ax²+ax-a-2=0，①
显然，当a=0时，方程①无解，不符合题意；
∴a≠0，由①得2a（x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$）=0
令F（x）=x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$，则F（x）=x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$在（-∞，-1）∪（1，+∞）内有两个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{F（-1）＜0}\\{F（1）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}＜0}\\{1-\frac{1}{a}＜0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜1．
∴a的取值范围是（0，1）．

点评 本题考查了函数奇偶性的判断，函数零点的个数判断与函数图象的关系，二次函数的性质，属于中档题．