Question

3．已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线5x+12y+21=0相切，与y轴交于M，N两点，且∠MCN=120°．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P（0，2）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，若设点G为△MNG的重心，当△MNG的面积为$\sqrt{3}$时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）可设圆C的方程为（x-a）²+y²=4a²，点C到直线5x+12y+21=0的距离为$d=\frac{|5a+21|}{13}=2a$，求出a，即可求圆C的标准方程；
（2）利用△MNG的面积为$\sqrt{3}$，得出|x_G|=1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_G}=\frac{{{x_1}+{x_2}+0}}{3}$，即x₁+x₂=3x_G，直线方程与圆的方程联立，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意知圆心C（a，0），且a＞0，
由∠MCN=120°，知Rt△MCO中，∠MCO=60°，|OC|=a，则|CM|=2a，
于是可设圆C的方程为（x-a）²+y²=4a²…（2分）
又点C到直线5x+12y+21=0的距离为$d=\frac{|5a+21|}{13}=2a$，
所以a=1或$a=-\frac{21}{31}$（舍），
故圆C的方程为（x-1）²+y²=4．…（4分）
（2）△MNG的面积$S=\frac{1}{2}|MN||{x_G}|=\sqrt{3}|{x_G}|=\sqrt{3}$，所以|x_G|=1．
若设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_G}=\frac{{{x_1}+{x_2}+0}}{3}$，即x₁+x₂=3x_G，…（6分）
当直线l斜率不存在时，△ABO不存在，
故可设直线l为y=kx+2，代入圆C的方程（x-1）²+y²=4中，
可得（1+k²）x²+（4k-2）x+1=0，…（8分）
则$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{2-4k}{{1+{k^2}}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}k＜0或k＞\frac{4}{3}\\{x_1}+{x_2}=\frac{2-4k}{{1+{k^2}}}=±3\end{array}\right.$…（10分）
得k=-1或$k=-\frac{1}{3}$，
故满足条件的直线l的方程为y=-x+2或$y=-\frac{1}{3}x+2$．…（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．