Question

15．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=1，AC=$\sqrt{2}$，BB₁=2，点M为BB₁的中点，则点A到平面A₁CM距离为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A到平面A₁CM距离．

解答 解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=1，AC=$\sqrt{2}$，
∴BC²+AB²=AC²，∴AB⊥BC，
以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵BB₁=2，∴A（1，0，0），A₁（1，0，2），C（0，1，0），
M（0，0，1），
$\overrightarrow{M{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{MC}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{MA}$=（1，0，-1），
设平面A₁CM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{M{A}_{1}}=x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}=y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴点A到平面A₁CM距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MA}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．