Question

20．PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 在PC上任取一点D并作PO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面APB所成的角，由此能求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值．

解答 解：在PC上任取一点D并作PO⊥平面APB，
则∠DPO就是直线PC与平面APB所成的角．        
过点O作OE⊥PA，OF⊥PB，
∵DO⊥平面APB，∴DE⊥PA，DF⊥PB．
△DEP≌△DFP，∴EP=FP，∴△OEP≌△OFP，
∵∠APC=∠BPC=60°，∴点O在∠APB的平分线上，即∠OPE=30°．
设PE=1，∵∠OPE=30°，∴OP=$\frac{1}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在直角△PED中，∠DPE=60°，PE=1，则PD=2．
在直角△DOP中，OP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，PD=2．则cos∠DPO=$\frac{OP}{PD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．