Question

5．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{16+k}$-$\frac{{y}^{2}}{8-k}$=1（-16＜k＜8）的一条渐近线方程是y=-$\sqrt{3}$x，点P（3，y₀）与点Q是双曲线上关于坐标原点对称的两点，则四边形F₁QF₂P的面积是．

• A． 12$\sqrt{6}$
• B． 6$\sqrt{6}$
• C． 12$\sqrt{2}$
• D． 6$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，解方程可得k=-10，求出双曲线的a，b，c，代入点P，可得纵坐标，由题意可得四边形F₁QF₂P为平行四边形，求出三角形PF₁F₂的面积，即可得到所求面积．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{16+k}$-$\frac{{y}^{2}}{8-k}$=1（-16＜k＜8），
可得渐近线方程为y=±$\sqrt{\frac{8-k}{16+k}}$x，
由题意可得$\sqrt{\frac{8-k}{16+k}}$=$\sqrt{3}$，
解得k=-10，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{18}$=1，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{6+18}$=2$\sqrt{6}$，
设P在第一象限，代入双曲线方程可得
y₀=3$\sqrt{2}$×$\sqrt{\frac{9}{6}-1}$=3．
即有P（3，3），
由P，Q关于原点对称，
可得四边形F₁QF₂P为平行四边形，
三角形PF₁F₂的面积为$\frac{1}{2}$|F₂F₁|•y₀=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{6}$×3=6$\sqrt{6}$，
即有四边形F₁QF₂P的面积是2×6$\sqrt{6}$=12$\sqrt{6}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查平行四边形面积的求法，注意运用三角形的面积求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．