Question

15．在四棱锥P-ABCE中，PA⊥底面ABCE，CD⊥AE，AC平分∠BAD，G为PC的中点，PA=AD=2，BC=DE，AB=3，CD=2$\sqrt{3}$，F，M分别为BC，EG上一点，且AF∥CD．
（1）求$\frac{ME}{MG}$的值，使得CM∥平面AFG；
（2）求直线CE与平面AFG所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出∠CAD=60°，∠BAC=60°，由余弦定理得BC=$\sqrt{13}$，从而DE=$\sqrt{13}$，进而得到当$\frac{ME}{MG}=\frac{DE}{DA}=\frac{\sqrt{13}}{2}$时，AG∥DM，平面CDM∥平面AFG，CM∥平面AFG．
（2）分别以DA，AF，AP为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面AFG所成角的正弦值．

解答 解：（1）在Rt△ADC中，∠ADC为直角，
tan$∠CAD=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，则∠CAD=60°，
又AC平分∠BAD，∴∠BAC=60°，
∵AB=3，AC=4，∴由余弦定理得BC=$\sqrt{13}$，∴DE=$\sqrt{13}$，
当$\frac{ME}{MG}=\frac{DE}{DA}=\frac{\sqrt{13}}{2}$时，AG∥DM，
又AF∥CD，AF∩AG=A，∴平面CDM∥平面AFG，
∴CM?平面CDM，∴CM∥平面AFG．
（2）分别以DA，AF，AP为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A（0，0，0），C（-2，2$\sqrt{3}$，0），D（-2，0，0），G（-1，$\sqrt{3}$，1），E（-2-$\sqrt{13}$，0，0），
$\overrightarrow{AG}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{CD}$=（0，-2$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{CE}$=（-$\sqrt{13}$，-2$\sqrt{3}$，0），
设平面AFG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵AF∥CD，∴$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{n}$=0，$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{n}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y+z=0}\\{-2\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
设直线CE与平面AFG所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{25}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{26}}{10}$，
∴直线CE与平面AFG所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{26}}{10}$．

点评 本题考查满足线面平行的线段比值的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．