Question

6．若直线ax+by=1（a，b都是正实数）与圆x²+y²=1相交于A，B两点，当△AOB（O是坐标原点）的面积最大时，a+b的最大值为2．

Answer 1

分析 当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，圆心O（0，0）到直线直线l的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此利用基本不等式，能求出a+b的最大值．

解答 解：当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，则圆心到直线的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a²+b²=2，
∴（a+b）²≤2（a²+b²）=4，∴a+b≤2，
∴a+b的最大值为2，
故答案为2．

点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档试题，本题的解答当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，此时圆心O到直线的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$是解答本题的关键．