Question

4．已知p：?x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，2x＜m（x²+1），q：函数f（x）=4^x+2^x+1+m-1存在零点，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是（$\frac{4}{5}$，1）．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的m的范围，取交集即可．

解答 解：已知p：?x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，2x＜m（x²+1），
故m＞$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，
令g（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，则g（x）在[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]递增，
故g（x）≤g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{4}{5}$，
故p为真时：m＞$\frac{4}{5}$；
q：函数f（x）=4^x+2^x+1+m-1=（2^x+1）²+m-2，
令f（x）=0，得2^x=$\sqrt{2-m}$-1，
若f（x）存在零点，
则$\sqrt{2-m}$-1＞0，解得：m＜1，
故q为真时，m＜1；若“p且q”为真命题，
则实数m的取值范围是：（$\frac{4}{5}$，1），
故答案为：（$\frac{4}{5}$，1）．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题以及指数函数的性质，是一道中档题．