Question

12．已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=4的距离之比为$\frac{1}{2}$，设动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F作斜率不为0的任意一条直线与曲线C交于两点A，B，试问在x轴上是否存在一点P（与点F不重合），使得∠APF=∠BPF，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设点M（x，y），利用条件可得等式$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}$|x-4|，化简，可得曲线C的轨迹方程；
（2）通过设存在点P（x₀，0）满足题设条件，分AB与x轴不垂直与不垂直两种情况讨论，利用韦达定理化简、计算即得结论．

解答 解：（1）设点M（x，y），则据题意有$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}$|x-4|
则4[（x-1）²+y²]=（x-4）²，即3x²+4y²=12，∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
曲线C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）假设存在点P（x₀，0）满足题设条件，
①当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y=k（x-1）．
当AB与x轴不垂直时，设AB所在直线的方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程化简得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
可知△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，
若∠APF=∠BPF，则k_AP+k_BP=0，
则k_AP+k_BP=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$=$\frac{k（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-{x}_{0}）+k（{x}_{2}-1）（{x}_{1}-{x}_{0}）}{（{x}_{1}-{x}_{0}）（{x}_{2}-{x}_{0}）}$
∵（x₁-1）（x₂-x₀）+（x₂-1）（x₁-x₀）=2x₁x₂-（1+x₀）（x₁+x₂）+2x₀=0
∴整理得：k（x₀-4）=0，因为k∈R，所以x₀=4；
②当AB⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠APF=∠BPF，满足题意；
综上，在x轴上存在点P（4，0），使得∠APF=∠BPF．

点评 本题考查椭圆的简单性质，圆锥曲线中的存在性问题，转化思想是解题关键，属于难题．