Question

2．已知函数f（x）=x-alnx+b，a，b为实数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+3，求a，b的值；
（Ⅱ）若|f′（x）|＜$\frac{3}{{x}^{2}}$对x∈[2，3]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）根据导数的几何意义可得f′（1）=2，f（1）=5，列方程组解出a，b即可；
（II）分离参数得出x-$\frac{3}{x}$＜a＜x+$\frac{3}{x}$，分别求出左侧函数的最大值和右侧函数的最小值即可得出a的范围．

解答 解：（I）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+3，
∴f′（1）=2，f（1）=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a=2}\\{1+b=5}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=4．
（II）∵|f′（x）|＜$\frac{3}{{x}^{2}}$对x∈[2，3]恒成立，即|1-$\frac{a}{x}$|＜$\frac{3}{{x}^{2}}$对x∈[2，3]恒成立，
∴|x-a|＜$\frac{3}{x}$对x∈[2，3]恒成立，
∴x-$\frac{3}{x}$＜a＜x+$\frac{3}{x}$对x∈[2，3]恒成立，
设g（x）=x-$\frac{3}{x}$，h（x）=x+$\frac{3}{x}$，x∈[2，3]，
则g′（x）=1+$\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，h′（x）=1-$\frac{3}{{x}^{2}}$＞0，
∴g（x）在[2，3]上是增函数，h（x）在[2，3]上是增函数，
∴g_max（x）=g（3）=2，h_min（x）=h（2）=$\frac{7}{2}$．
∴a的取值范围是[2，$\frac{7}{2}$]．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．