Question

11．已知函数f（x）=lnx-x-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）求证：ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…ln（n²+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

分析 （I）判断f（x）的单调性，从而计算f（x）的最大值；
（II）根据f（x）在（1，+∞）上单调递减可得f（x）＜-4，化简得ln（x）＜x-1，利用对数的运算性质计算ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…ln（n²+1）-2lnn!，根据f（x）的单调性化简，再使用不等式性质得出结论．

解答 解：（I）f′（x）=$\frac{1}{x}-1$，令f′（x）=0得x=1，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴f（x）的最大值为f（1）=-4．
（II）证明：∵f（x）=lnx-x-3在（1，+∞）上单调递减，
∴f（x）＜f（1）=-4，即lnx-x-3＜-4，
∴lnx＜x-1在（1，+∞）上恒成立，
∴ln（$\frac{1}{{n}^{2}}$+1）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴ln（2²+1）+ln（3²+1）+ln（4²+1）+…+ln（n²+1）-2lnn!
=ln$\frac{（{2}^{2}+1）•（{3}^{2}+1）•…•（{n}^{2}+1）}{{n}^{2}•（n-1）^{2}•（n-3）^{2}•…•{2}^{2}}$
=ln[（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）]
=ln（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）+ln（1+$\frac{1}{{3}^{2}}$）+…+ln（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）
＜$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$
＜$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$
=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
=1-$\frac{1}{n}$＜1．

点评 本题考查导数与函数单调性的关系，利用函数性质证明不等式，以及考查学生创造性的分析解决问题的能力，属于中档题．