Question

4．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设AP=1，AD=$\sqrt{3}$，三棱锥P-ABD的体积V=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，求二面角A-PB-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）设BD与AC的交点为O，连结EO，推导出EO∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．
（2）过点A作AH⊥PB于H，连结HD，推导出∠AHD是二面角A-PB-D的平面角，由此能求出二面角A-PB-D的正切值．

解答 证明：（1）设BD与AC的交点为O，连结EO，
∵底面ABCD是矩形，∴O是BD的中点，
又∵E为PD的中点，∴EO∥PB，
∵EO?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
解：（2）过点A作AH⊥PB于H，连结HD，
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，
在矩形ABCD中，AD⊥AB，
∵AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB，∴BP⊥HD，
由AH⊥PB，HD⊥BP，知∠AHD是二面角A-PB-D的平面角，
∵三棱锥P-ABD的体积V=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴${V}_{P-ABD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PA×AB×AD=\frac{\sqrt{3}}{4}$，∴$\frac{\sqrt{3}}{6}AB=\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴AB=$\frac{3}{2}$，∴BP=$\sqrt{A{{B}^{2}+A{P}^{2}}_{\;}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∵AB×AP=BP×AH，∴$\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2}AH$，解得AH=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
∴tan$∠AHD=\frac{AD}{AH}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{3\sqrt{13}}{13}}$=$\frac{\sqrt{39}}{3}$，
∴二面角A-PB-D的正切值为$\frac{\sqrt{39}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．