Question

16．已知圆F方程为（x-1）²+y²=1，圆外一点P到圆心的距离等于它到y轴距离，
（1）求点P的轨迹方程．
（2）直线l与点P轨迹方程交于y轴的右侧A，B不同两点，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4（O为坐标原点），且4$\sqrt{6}$≤|$\overrightarrow{AB}$|≤4$\sqrt{30}$，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$-1=丨x丨，整理得：y²=2x+丨x丨，去掉绝对值，即可求得点P的轨迹方程；
（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的数量积的坐标运算，求得m和k的关系，由△＞0，求得k的取值范围，利用弦长公式，解一元二次不等式，即可求得k的取值范围．

解答 解：（1）设P（x，y） 则$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$-1=丨x丨，则y²=2x+丨x丨，
∴P点的轨迹方程为：当x≥0时，y²=4x，
当x＜0时，y=0，
∴点P的轨迹方程$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}&{x≥0}\\{y=0}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（2）设 l：y=kx+m显然 k≠0  设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得k²x²+（2km-4）x+m²=0，（其中k≠0），
则x₁+x₂=$\frac{4-2km}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-4，则 m=-2k，
代入△=（2km-4）²-4k²m²＞0，解得：km＜0，则-2k²＜1成立，
丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\frac{4}{{k}^{2}}$$\sqrt{（1+{k}^{2}）^{2}（1+2{k}^{2}）}$，
由4$\sqrt{6}$≤|$\overrightarrow{AB}$|≤4$\sqrt{30}$，则4$\sqrt{6}$≤$\frac{4}{{k}^{2}}$•$\sqrt{（1+{k}^{2}）^{2}（1+2{k}^{2}）}$≤4$\sqrt{30}$，
6≤$\frac{（1+{k}^{2}）（1+2{k}^{2}）}{{k}^{4}}$≤30，
即$\left\{\begin{array}{l}{4{k}^{4}-3{k}^{2}-1≤0}\\{28{k}^{4}-3{k}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{4}$≤k²≤1，
∴$\frac{1}{2}$≤k≤1，或-1≤k≤-$\frac{1}{2}$．
∴直线l的斜率k的取值范围[-1，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中档题．